Je, ni fractals: uzuri wa hisabati na infinity

2024 Mwandishi: Seth Attwood | [email protected]. Mwisho uliobadilishwa: 2023-12-16 16:17

Fractals zimejulikana kwa karne, zimesomwa vizuri na zina matumizi mengi maishani. Hata hivyo, jambo hili linategemea wazo rahisi sana: wingi wa maumbo, usio na uzuri na aina mbalimbali, unaweza kupatikana kutoka kwa miundo rahisi kwa kutumia shughuli mbili tu - kunakili na kuongeza.

Je, mti, ufuo wa bahari, wingu, au mishipa ya damu mkononi mwetu yanafanana nini? Kwa mtazamo wa kwanza, inaweza kuonekana kuwa vitu hivi vyote havina kitu sawa. Hata hivyo, kwa kweli, kuna mali moja ya muundo wa asili katika vitu vyote vilivyoorodheshwa: vinafanana. Kutoka kwa tawi, na vile vile kutoka kwenye shina la mti, kuna matawi madogo, kutoka kwao - hata madogo, nk, yaani, tawi ni kama mti mzima.

Mfumo wa mzunguko wa damu hupangwa kwa njia sawa: arterioles hutoka kwenye mishipa, na kutoka kwao - capillaries ndogo zaidi ambayo oksijeni huingia kwenye viungo na tishu. Hebu tuangalie picha za satelaiti za pwani ya bahari: tutaona bays na peninsulas; hebu tuangalie, lakini kutoka kwa jicho la ndege: tutaona bays na capes; Sasa hebu tufikirie kuwa tumesimama ufukweni na kutazama miguu yetu: kila wakati kuna kokoto ambazo hutoka ndani ya maji zaidi kuliko zingine.

Hiyo ni, ukanda wa pwani unabaki sawa na yenyewe wakati wa kuvuta ndani. Mwanahisabati wa Amerika (ingawa alilelewa Ufaransa) Benoit Mandelbrot aliita mali hii ya vitu kuwa fractality, na vitu kama hivyo wenyewe - fractals (kutoka Kilatini fractus - kuvunjwa).

Fractal ni nini?

Dhana hii haina ufafanuzi mkali. Kwa hiyo, neno "fractal" sio neno la hisabati. Kwa kawaida, fractal ni takwimu ya kijiometri ambayo inakidhi moja au zaidi ya sifa zifuatazo: • Ina muundo tata katika ukuzaji wowote (kinyume na, kwa mfano, mstari wa moja kwa moja, sehemu yoyote ambayo ni takwimu rahisi zaidi ya kijiometri - a. sehemu ya mstari). • Ina (takriban) inafanana. • Ina kipimo cha sehemu ya Hausdorff (fractal), ambacho ni kikubwa zaidi kuliko kile cha topolojia. • Inaweza kujengwa kwa taratibu za kujirudia.

Jiometri na algebra

Utafiti wa fractals mwanzoni mwa karne ya 19 na 20 ulikuwa wa matukio badala ya utaratibu, kwa sababu wanahisabati wa awali walisoma vitu "nzuri" ambavyo viliweza kufanyiwa utafiti kwa kutumia mbinu na nadharia za jumla. Mnamo 1872, mwanahisabati wa Ujerumani Karl Weierstrass aliunda mfano wa utendaji unaoendelea ambao hauwezi kutofautishwa popote. Walakini, ujenzi wake ulikuwa wa kufikirika kabisa na mgumu kutambulika.

Kwa hiyo, mwaka wa 1904, Swede Helge von Koch aligundua curve inayoendelea, ambayo haina tangent popote, na ni rahisi sana kuchora. Ilibadilika kuwa ina mali ya fractal. Moja ya lahaja za curve hii inaitwa "Koch snowflake".

Mawazo ya kufanana kwa takwimu yalichukuliwa na Mfaransa Paul Pierre Levy, mshauri wa baadaye wa Benoit Mandelbrot. Mnamo 1938, alichapisha nakala yake "Nyuso za Ndege na anga na nyuso, zinazojumuisha sehemu zinazofanana na zima", ambayo inaelezea fractal nyingine - Lévy C-curve. Fractals hizi zote hapo juu zinaweza kuhusishwa kwa masharti na darasa moja la fracti za kujenga (kijiometri).

Darasa lingine ni fractal zenye nguvu (algebraic), ambazo ni pamoja na seti ya Mandelbrot. Masomo ya kwanza katika mwelekeo huu yalianza mwanzoni mwa karne ya 20 na yanahusishwa na majina ya wanahisabati wa Kifaransa Gaston Julia na Pierre Fatou. Mnamo 1918, memoir ya Julia ya karibu kurasa mia mbili, iliyotolewa kwa marudio ya kazi ngumu za busara, ilichapishwa, ambayo seti za Julia zilielezewa - familia nzima ya fractals inayohusiana kwa karibu na seti ya Mandelbrot. Kazi hii ilipewa tuzo ya Chuo cha Kifaransa, lakini haikuwa na kielelezo kimoja, hivyo haikuwezekana kufahamu uzuri wa vitu vilivyogunduliwa.

Licha ya ukweli kwamba kazi hii ilimtukuza Julia kati ya wanahisabati wa wakati huo, ilisahaulika haraka. Haikuwa hadi nusu karne baadaye kwamba kompyuta ilikuja kuzingatiwa tena: ni wao ambao walifanya utajiri na uzuri wa ulimwengu wa fractals kuonekana.

Vipimo vya Fractal

Kama unavyojua, kipimo (idadi ya vipimo) ya takwimu ya kijiometri ni idadi ya kuratibu zinazohitajika kuamua nafasi ya hatua iliyo kwenye takwimu hii.

Kwa mfano, nafasi ya hatua kwenye curve imedhamiriwa na kuratibu moja, juu ya uso (sio lazima ndege) na kuratibu mbili, katika nafasi ya tatu-dimensional na kuratibu tatu.

Kutoka kwa mtazamo wa jumla wa hisabati, unaweza kufafanua mwelekeo kwa njia hii: ongezeko la vipimo vya mstari, sema, mara mbili, kwa moja-dimensional (kutoka kwa mtazamo wa topolojia) vitu (sehemu) husababisha kuongezeka kwa ukubwa. (urefu) mara mbili, kwa mbili-dimensional (mraba) ongezeko sawa la vipimo vya mstari husababisha ongezeko la ukubwa (eneo) kwa mara 4, kwa tatu-dimensional (mchemraba) - kwa mara 8. Hiyo ni, kipimo cha "halisi" (kinachojulikana kama Hausdorff) kinaweza kuhesabiwa kama uwiano wa logariti ya ongezeko la "ukubwa" wa kitu hadi logariti ya ongezeko la saizi yake ya mstari. Hiyo ni, kwa sehemu D = logi (2) / logi (2) = 1, kwa ndege D = logi (4) / logi (2) = 2, kwa kiasi D = logi (8) / logi (2)) = 3.

Hebu sasa tuhesabu ukubwa wa curve ya Koch, kwa ajili ya ujenzi ambao sehemu ya kitengo imegawanywa katika sehemu tatu sawa na muda wa kati hubadilishwa na pembetatu ya equilateral bila sehemu hii. Kwa kuongezeka kwa vipimo vya mstari wa sehemu ya chini mara tatu, urefu wa curve ya Koch huongezeka katika logi (4) / logi (3) ~ 1, 26. Hiyo ni, mwelekeo wa curve ya Koch ni sehemu!

Sayansi na sanaa

Mnamo 1982, kitabu cha Mandelbrot "The Fractal Geometry of Nature" kilichapishwa, ambamo mwandishi alikusanya na kupanga karibu habari zote zilizopatikana wakati huo kuhusu fractals na kuziwasilisha kwa njia rahisi na inayopatikana. Katika uwasilishaji wake, Mandelbrot alisisitiza kuu sio juu ya fomula ngumu na muundo wa hesabu, lakini juu ya uvumbuzi wa kijiometri wa wasomaji. Shukrani kwa vielelezo vinavyotokana na kompyuta na hadithi za kihistoria, ambazo mwandishi alipunguza kwa ustadi sehemu ya kisayansi ya monograph, kitabu hicho kikawa kinauzwa zaidi, na fractals ilijulikana kwa umma kwa ujumla.

Mafanikio yao kati ya wasio wa hisabati ni kwa kiasi kikubwa kutokana na ukweli kwamba kwa msaada wa ujenzi rahisi sana na kanuni ambazo mwanafunzi wa shule ya sekondari anaweza kuelewa, picha za utata wa kushangaza na uzuri hupatikana. Wakati kompyuta za kibinafsi zilipokuwa na nguvu za kutosha, hata mwenendo mzima wa sanaa ulionekana - uchoraji wa fractal, na karibu mmiliki yeyote wa kompyuta angeweza kufanya hivyo. Sasa kwenye mtandao, unaweza kupata tovuti nyingi zinazotolewa kwa mada hii kwa urahisi.

Vita na Amani

Kama ilivyoonyeshwa hapo juu, moja ya vitu asilia vilivyo na fractal ni ukanda wa pwani. Hadithi moja ya kuvutia imeunganishwa naye, au tuseme, na jaribio la kupima urefu wake, ambayo iliunda msingi wa makala ya kisayansi ya Mandelbrot, na pia inaelezwa katika kitabu chake "Fractal Geometry of Nature".

Hili ni jaribio ambalo lilifanywa na Lewis Richardson, mwanahisabati, mwanafizikia na meteorologist mwenye talanta sana na eccentric. Mojawapo ya mwelekeo wa utafiti wake ulikuwa jaribio la kupata maelezo ya hisabati ya sababu na uwezekano wa mzozo wa silaha kati ya nchi hizo mbili. Miongoni mwa vigezo alivyozingatia ni urefu wa mpaka wa pamoja wa nchi hizo mbili zinazopigana. Alipokusanya data kwa majaribio ya nambari, aligundua kuwa katika vyanzo tofauti data kwenye mpaka wa kawaida kati ya Uhispania na Ureno ni tofauti sana.

Hili lilimfanya agundue yafuatayo: urefu wa mipaka ya nchi unategemea mtawala ambaye tunapima naye. Kiwango kidogo, mpaka ni mrefu. Hii ni kutokana na ukweli kwamba kwa kuongezeka kwa juu kunawezekana kuzingatia bends zaidi na zaidi ya pwani, ambayo hapo awali ilipuuzwa kutokana na ukali wa vipimo. Na ikiwa, kwa kila ongezeko la kiwango, bend zisizojulikana za mistari zitafungua, basi zinageuka kuwa urefu wa mipaka hauna mwisho! Kweli, kwa kweli hii haifanyiki - usahihi wa vipimo vyetu una kikomo cha mwisho. Kitendawili hiki kinaitwa athari ya Richardson.

Fractals za kujenga (kijiometri)

Algorithm ya kuunda fractal inayojenga katika kesi ya jumla ni kama ifuatavyo. Kwanza kabisa, tunahitaji maumbo mawili ya kijiometri yanafaa, tuwaite msingi na kipande. Katika hatua ya kwanza, msingi wa fractal ya baadaye inaonyeshwa. Kisha baadhi ya sehemu zake hubadilishwa na kipande kilichochukuliwa kwa kiwango kinachofaa - hii ni iteration ya kwanza ya ujenzi. Kisha, takwimu inayotokana tena inabadilisha baadhi ya sehemu katika takwimu zinazofanana na kipande, na kadhalika Ikiwa tunaendelea mchakato huu kwa muda usiojulikana, basi katika kikomo tunapata fractal.

Wacha tuzingatie mchakato huu kwa kutumia Curve ya Koch kama mfano. Kama msingi wa curve ya Koch, unaweza kuchukua curve yoyote (kwa "Koch snowflake" ni pembetatu). Lakini tutajizuia kwa kesi rahisi - sehemu. Kipande ni mstari uliovunjika unaoonyeshwa juu kwenye takwimu. Baada ya marudio ya kwanza ya algorithm, katika kesi hii, sehemu ya awali itafanana na kipande, kisha kila sehemu ya sehemu yake itabadilishwa na mstari uliovunjika, sawa na kipande, nk. Takwimu inaonyesha hatua nne za kwanza. mchakato huu.

Katika lugha ya hisabati: nguvu (algebraic) fractals

Fractals ya aina hii hutokea katika utafiti wa mifumo isiyo ya mstari yenye nguvu (kwa hivyo jina). Tabia ya mfumo kama huo inaweza kuelezewa na kazi ngumu isiyo ya mstari (polynomial) f (z). Chukua sehemu ya kuanzia z0 kwenye ndege tata (tazama upau wa kando). Sasa fikiria mlolongo huo usio na kipimo wa nambari kwenye ndege tata, ambayo kila moja ifuatayo hupatikana kutoka kwa ile iliyotangulia: z0, z1 = f (z0), z2 = f (z1),… zn + 1 = f (zn))

Kulingana na nukta z0 ya mwanzo, mlolongo kama huo unaweza kuwa tofauti: huwa na ukomo kama n -> ∞; kuungana kwa sehemu fulani ya mwisho; kwa mzunguko kuchukua idadi ya maadili fasta; chaguzi ngumu zaidi pia zinawezekana.

Nambari tata

Nambari changamano ni nambari inayojumuisha sehemu mbili - halisi na ya kufikirika, yaani, jumla rasmi x + iy (hapa x na y ni nambari halisi). mimi ndiye anayeitwa. kitengo cha kufikirika, yaani, nambari inayotosheleza mlinganyo i ^ 2 = -1. Shughuli za msingi za hisabati zinafafanuliwa juu ya nambari ngumu - kuongeza, kuzidisha, mgawanyiko, kutoa (operesheni tu ya kulinganisha haijafafanuliwa). Ili kuonyesha nambari ngumu, uwakilishi wa kijiometri hutumiwa mara nyingi - kwenye ndege (inaitwa ngumu), sehemu halisi imewekwa kwenye abscissa, na sehemu ya kufikiria kwenye kuratibu, wakati nambari ngumu italingana na hatua na Cartesian. kuratibu x na y.

Kwa hivyo, hatua yoyote z ya ndege tata ina tabia yake ya tabia wakati wa kurudia kwa kazi f (z), na ndege nzima imegawanywa katika sehemu. Katika kesi hiyo, pointi zilizo kwenye mipaka ya sehemu hizi zina mali ifuatayo: kwa uhamisho mdogo wa kiholela, asili ya tabia zao hubadilika kwa kasi (pointi hizo huitwa pointi za bifurcation). Kwa hiyo, zinageuka kuwa seti za pointi na aina moja maalum ya tabia, pamoja na seti za pointi za bifurcation, mara nyingi zina mali ya fractal. Hizi ndizo seti za Julia za chaguo za kukokotoa f (z).

Familia ya dragons

Kwa kutofautisha msingi na kipande, unaweza kupata aina ya kushangaza ya fractals ya kujenga.

Aidha, shughuli kama hizo zinaweza kufanywa katika nafasi ya tatu-dimensional. Mifano ya fractals ya volumetric ni sifongo cha Menger, piramidi ya Sierpinski na wengine.

Familia ya joka pia inajulikana kama fractals ya kujenga. Wakati mwingine huitwa kwa jina la wagunduzi "dragons of the Highway-Harter" (kwa fomu yao wanafanana na dragons za Kichina). Kuna njia kadhaa za kupanga curve hii. Rahisi na angavu zaidi kati yao ni hii: unahitaji kuchukua karatasi ndefu ya kutosha (karatasi nyembamba, bora zaidi), na kuikunja kwa nusu. Kisha uinamishe mara mbili tena kwa mwelekeo sawa na mara ya kwanza.

Baada ya kurudia mara kadhaa (kawaida baada ya mikunjo mitano au sita, ukanda huwa mnene sana ili upinde vizuri zaidi), unahitaji kugeuza ukanda nyuma, na ujaribu kuunda pembe 90˚ kwenye mikunjo. Kisha curve ya joka itageuka kuwa wasifu. Bila shaka, hii itakuwa tu ukadiriaji, kama majaribio yetu yote ya kuonyesha vitu fractal. Kompyuta inakuwezesha kuonyesha hatua nyingi zaidi katika mchakato huu, na matokeo yake ni takwimu nzuri sana.

Seti ya Mandelbrot imeundwa kwa njia tofauti kidogo. Zingatia chaguo za kukokotoa fc (z) = z ^ 2 + c, ambapo c ni nambari changamano. Hebu tujenge mlolongo wa kazi hii na z0 = 0, kulingana na parameter c, inaweza kutofautiana kwa infinity au kubaki mipaka. Zaidi ya hayo, maadili yote ya c ambayo mlolongo huu umefungwa huunda seti ya Mandelbrot. Ilijifunza kwa undani na Mandelbrot mwenyewe na wanahisabati wengine, ambao waligundua mali nyingi za kuvutia za seti hii.

Inaonekana kwamba ufafanuzi wa seti za Julia na Mandelbrot ni sawa kwa kila mmoja. Kwa kweli, seti hizi mbili zina uhusiano wa karibu. Yaani, seti ya Mandelbrot ni maadili yote ya parameta tata c ambayo Julia set fc (z) imeunganishwa (seti inaitwa kushikamana ikiwa haiwezi kugawanywa katika sehemu mbili zisizounganishwa, na hali zingine za ziada).

Fractals na maisha

Leo, nadharia ya fractals hutumiwa sana katika nyanja mbalimbali za shughuli za binadamu. Kwa kuongezea kitu cha kisayansi cha utafiti na uchoraji uliotajwa tayari, fractal hutumiwa katika nadharia ya habari kukandamiza data ya picha (hapa mali ya kufanana ya fractals hutumiwa sana - baada ya yote, ili kukumbuka kipande kidogo cha picha. mchoro na mabadiliko ambayo unaweza kupata sehemu zingine, kumbukumbu ndogo inahitajika kuliko kuhifadhi faili nzima).

Kwa kuongeza misukosuko isiyo ya kawaida kwa fomula zinazofafanua fractal, mtu anaweza kupata fractal stochastic ambayo huwasilisha vitu halisi - vitu vya misaada, uso wa miili ya maji, mimea mingine, ambayo inatumika kwa mafanikio katika fizikia, jiografia na picha za kompyuta kufikia picha kubwa zaidi. kufanana kwa vitu vilivyoiga na halisi. Katika umeme, antenna zinazalishwa ambazo zina sura ya fractal. Kuchukua nafasi kidogo, hutoa mapokezi ya ishara ya hali ya juu kabisa.

Wanauchumi hutumia fractals kuelezea viwango vya viwango vya sarafu (mali iliyogunduliwa na Mandelbrot). Hii inahitimisha safari hii ndogo katika ulimwengu wa ajabu na wa aina mbalimbali wa fractals.