Umbo tambarare, duara au hyperbolic ya Ulimwengu wetu?

2024 Mwandishi: Seth Attwood | [email protected]. Mwisho uliobadilishwa: 2023-12-16 16:17

Kwa maoni yetu, ulimwengu hauna mwisho. Leo tunajua kwamba Dunia ina sura ya tufe, lakini mara chache tunafikiri juu ya sura ya Ulimwengu. Katika jiometri, kuna maumbo mengi ya tatu-dimensional kama mbadala kwa nafasi "inayojulikana" isiyo na kikomo. Waandishi wanaelezea tofauti katika fomu inayopatikana zaidi.

Kuangalia anga ya usiku, inaonekana kwamba nafasi inaendelea milele katika pande zote. Hivi ndivyo tunavyofikiria Ulimwengu - lakini sio ukweli kwamba ni kweli. Baada ya yote, kulikuwa na wakati ambapo kila mtu alifikiri kwamba Dunia ni gorofa: mviringo wa uso wa dunia hauonekani, na wazo kwamba Dunia ni pande zote ilionekana kuwa isiyoeleweka.

Leo tunajua kwamba Dunia iko katika umbo la tufe. Lakini mara chache tunafikiri juu ya umbo la ulimwengu. Duara ilipochukua nafasi ya dunia tambarare, maumbo mengine ya pande tatu hutoa mbadala kwa nafasi "inayojulikana" isiyo na kikomo.

Maswali mawili yanaweza kuulizwa juu ya umbo la ulimwengu - tofauti lakini zinazohusiana. Moja ni kuhusu jiometri - mahesabu ya kina ya pembe na maeneo. Nyingine ni kuhusu topolojia: jinsi sehemu tofauti zinavyounganishwa kuwa fomu moja.

Data ya Kosmolojia inaonyesha kwamba sehemu inayoonekana ya Ulimwengu ni laini na yenye usawa. Muundo wa eneo wa nafasi inaonekana karibu sawa katika kila hatua na katika kila mwelekeo. Maumbo matatu tu ya kijiometri yanahusiana na sifa hizi - gorofa, spherical na hyperbolic. Wacha tuangalie maumbo haya kwa zamu, mazingatio kadhaa ya kitolojia na hitimisho kulingana na data ya ulimwengu.

Ulimwengu tambarare

Kwa kweli, hii ni jiometri ya shule. Pembe za pembetatu zinaongeza hadi digrii 180, na eneo la duara ni πr2. Mfano rahisi zaidi wa sura ya gorofa tatu-dimensional ni nafasi ya kawaida isiyo na kipimo, wanahisabati huiita Euclidean, lakini kuna chaguzi nyingine za gorofa.

Si rahisi kufikiria maumbo haya, lakini tunaweza kuunganisha intuition yetu kwa kufikiri katika vipimo viwili badala ya tatu. Mbali na ndege ya kawaida ya Euclidean, tunaweza kuunda maumbo mengine ya gorofa kwa kukata kipande cha ndege na kuunganisha kingo zake. Hebu tuseme sisi kukata kipande cha karatasi mstatili na mkanda kando kando yake na mkanda. Ikiwa unaunganisha makali ya juu kwenye makali ya chini, unapata silinda.

Unaweza pia gundi makali ya kulia kwa upande wa kushoto - basi tunapata donut (wanahisabati huita sura hii torus).

Pengine utapinga: "Kitu si gorofa sana." Na utakuwa sahihi. Tulikuwa tunadanganya kidogo kuhusu torus ya gorofa. Ikiwa utajaribu kweli kutengeneza torasi kutoka kwa karatasi kwa njia hii, utakabiliwa na shida kadhaa. Ni rahisi kufanya silinda, lakini haitafanya kazi kuunganisha mwisho wake: karatasi itapungua kando ya mzunguko wa ndani wa torus, lakini haitoshi kwa mzunguko wa nje. Kwa hiyo unapaswa kuchukua aina fulani ya nyenzo za elastic. Lakini kunyoosha hubadilisha urefu na pembe, na kwa hiyo jiometri nzima.

Haiwezekani kujenga torus halisi ya kimwili kutoka kwa nyenzo za gorofa ndani ya nafasi ya kawaida ya tatu-dimensional bila kupotosha jiometri. Inabakia kukisia kwa uwazi kuhusu jinsi kuishi ndani ya torasi tambarare.

Fikiria kuwa wewe ni kiumbe mwenye sura mbili ambaye ulimwengu wake ni torasi bapa. Kwa kuwa sura ya ulimwengu huu inategemea karatasi ya gorofa, ukweli wote wa kijiometri tunatumiwa kubaki sawa - angalau kwa kiwango kidogo: pembe za pembetatu huongeza hadi digrii 180, na kadhalika. Lakini pamoja na mabadiliko katika topolojia ya kimataifa kupitia kupunguza na kuunganisha, maisha yatabadilika sana.

Kuanza, torus ina mistari ya moja kwa moja ambayo inazunguka na kurudi kwenye hatua ya kuanzia.

Kwenye torasi iliyopotoka, zinaonekana zimepinda, lakini kwa wenyeji wa torasi tambarare, zinaonekana sawa. Na kwa kuwa mwanga husafiri kwa mstari wa moja kwa moja, basi ukiangalia moja kwa moja katika mwelekeo wowote, utajiona kutoka nyuma.

Ni kana kwamba, kwenye karatasi asili, nuru ilipitia kwako, ikaenda kwenye ukingo wa kushoto, kisha ikatokea tena upande wa kulia, kama katika mchezo wa video.

Hapa kuna njia nyingine ya kufikiri juu yake: wewe (au ray ya mwanga) huvuka moja ya kingo nne na kujikuta katika chumba kipya, lakini kwa kweli ni chumba kimoja, tu kutoka kwa mtazamo tofauti. Kuzunguka ulimwengu kama huo, utakutana na idadi isiyo na mwisho ya nakala za chumba cha asili.

Hii ina maana kwamba utachukua idadi isiyo na kikomo ya nakala zako popote unapoangalia. Hii ni aina ya athari ya kioo, nakala hizi tu sio tafakari haswa.

Kwenye torus, kila mmoja wao anafanana na kitanzi kimoja au kingine, ambacho mwanga unarudi kwako.

Kwa njia hiyo hiyo, tunapata torus ya gorofa tatu-dimensional kwa kuunganisha nyuso za kinyume za mchemraba au sanduku lingine. Hatutaweza kuonyesha nafasi hii ndani ya nafasi isiyo na kikomo ya kawaida - haitatoshea - lakini tutaweza kubahatisha kwa ufupi juu ya maisha ndani yake.

Ikiwa maisha katika torasi yenye pande mbili ni kama safu isiyo na mwisho ya pande mbili za vyumba vya mstatili vinavyofanana, basi maisha katika torasi ya pande tatu ni kama safu isiyo na mwisho ya tatu-dimensional ya vyumba vya ujazo vinavyofanana. Wewe, pia, utaona idadi isiyo na kikomo ya nakala zako mwenyewe.

Torasi ya pande tatu ni moja tu ya lahaja kumi za ulimwengu tambarare wenye kikomo. Pia kuna ulimwengu wa gorofa usio na kipimo - kwa mfano, analog ya tatu-dimensional ya silinda isiyo na kipimo. Kila moja ya ulimwengu huu itakuwa na "chumba cha kicheko" chake chenye "tafakari".

Je! ulimwengu wetu unaweza kuwa moja ya fomu za gorofa?

Tunapotazama angani, hatuoni idadi isiyo na kikomo ya nakala zetu wenyewe. Bila kujali, kuondoa maumbo ya gorofa si rahisi. Kwanza, zote zina jiometri ya ndani sawa na nafasi ya Euclidean, kwa hivyo haitawezekana kuzitofautisha na vipimo vya kawaida.

Wacha tuseme hata umeona nakala yako mwenyewe, picha hii ya mbali inaonyesha tu jinsi wewe (au galaksi yako kwa ujumla) ulivyoonekana zamani za mbali, kwani nuru imetoka mbali hadi ikakufikia. Labda hata tunaona nakala zetu - lakini zimebadilika zaidi ya kutambuliwa. Kwa kuongezea, nakala tofauti ziko umbali tofauti kutoka kwako, kwa hivyo hazifanani. Na zaidi ya hayo, mbali sana kwamba bado hatutaona chochote.

Ili kuzunguka shida hizi, wanaastronomia kawaida hawatafuti nakala zao wenyewe, lakini kwa vipengele vya kurudia katika jambo la mbali zaidi linaloonekana - mionzi ya asili ya microwave ya cosmic, hii ni masalio ya Big Bang. Katika mazoezi, hii ina maana ya kuangalia kwa jozi za miduara na mifumo inayofanana ya maeneo ya moto na baridi - inachukuliwa kuwa ni sawa, tu kutoka pande tofauti.

Wanaastronomia walifanya utafutaji kama huo mwaka wa 2015 kwa kutumia Darubini ya Anga ya Planck. Waliweka pamoja data juu ya aina za miduara ya bahati mbaya ambayo tunatarajia kuona ndani ya torasi bapa ya 3D au umbo lingine bapa la 3D - kinachojulikana kama sahani - lakini hawakupata chochote. Hii ina maana kwamba ikiwa tunaishi katika torasi, basi inaonekana kuwa kubwa sana kwamba vipande vyovyote vinavyojirudia viko nje ya ulimwengu unaoonekana.

Umbo la spherical

Tunafahamu sana nyanja mbili-dimensional - hii ni uso wa mpira, machungwa au Dunia. Lakini vipi ikiwa ulimwengu wetu ni duara lenye pande tatu?

Kuchora nyanja tatu-dimensional ni ngumu, lakini ni rahisi kuielezea kwa mlinganisho rahisi. Ikiwa tufe yenye pande mbili ni mkusanyo wa pointi zote kwa umbali maalum kutoka sehemu fulani ya kati katika nafasi ya kawaida ya pande tatu, tufe ya pande tatu (au "trisphere") ni mkusanyiko wa pointi zote kwa umbali maalum kutoka kwa baadhi. sehemu ya kati katika nafasi ya nne-dimensional.

Maisha ndani ya utatu ni tofauti sana na maisha katika nafasi tambarare. Ili kuiona taswira, fikiria kuwa wewe ni kiumbe mwenye sura mbili katika tufe yenye pande mbili. Tufe lenye pande mbili ni Ulimwengu mzima, kwa hivyo huwezi kuona nafasi ya pande tatu inayokuzunguka na hauwezi kuingia ndani yake. Katika ulimwengu huu wa duara, mwanga husafiri kwa njia fupi zaidi: katika miduara mikubwa. Lakini miduara hii inaonekana moja kwa moja kwako.

Sasa fikiria kuwa wewe na rafiki yako wa 2D mnabarizi kwenye Ncha ya Kaskazini, na akaenda matembezi. Kuhama, mwanzoni itapungua polepole katika mduara wako wa kuona - kama katika ulimwengu wa kawaida, ingawa sio haraka kama vile tumezoea. Hii ni kwa sababu kadiri mduara wako wa kuona unavyokua, rafiki yako huchukua kidogo na kidogo.

Lakini mara tu rafiki yako anapovuka ikweta, jambo la kushangaza hufanyika: anaanza kuongezeka kwa ukubwa, ingawa kwa kweli anaendelea kusonga. Hii ni kwa sababu asilimia wanayochukua katika mduara wako wa kuona inaongezeka.

Mita tatu kutoka Ncha ya Kusini, rafiki yako ataonekana kama amesimama mita tatu kutoka kwako.

Baada ya kufikia Ncha ya Kusini, itajaza kabisa upeo wako wote unaoonekana.

Na wakati hakuna mtu kwenye Ncha ya Kusini, upeo wako wa kuona utakuwa mgeni - ni wewe. Hii ni kwa sababu nuru utakayotoa itaenea katika duara yote hadi itakaporudi.

Hii inathiri moja kwa moja maisha katika ulimwengu wa 3D. Kila sehemu ya utatu ina kinyume chake, na ikiwa kuna kitu hapo, tutakiona angani nzima. Ikiwa hakuna kitu hapo, tutajiona nyuma - kana kwamba mwonekano wetu umewekwa juu ya puto, kisha tukageuka ndani na kuingizwa kwenye upeo wa macho wote.

Lakini ingawa utatu ni mfano wa msingi wa jiometri ya duara, iko mbali na nafasi pekee inayowezekana. Tulipojenga miundo tofauti ya bapa kwa kukata na kuunganisha vipande vya nafasi ya Euclidean, ili tuweze kujenga zile za duara kwa kuunganisha vipande vinavyofaa vya utatu. Kila moja ya maumbo haya ya glued itakuwa, kama torus, kuwa na athari ya "chumba cha kicheko", ni idadi tu ya vyumba katika maumbo ya spherical itakuwa finite.

Je, ikiwa ulimwengu wetu ni duara?

Hata watu wa narcissistic zaidi wetu hawajioni kama asili badala ya anga ya usiku. Lakini, kama ilivyo kwa torasi ya gorofa, ukweli kwamba hatuoni kitu haimaanishi kabisa kwamba haipo. Mipaka ya ulimwengu wa spherical inaweza kuwa kubwa zaidi kuliko mipaka ya ulimwengu unaoonekana, na historia haionekani tu.

Lakini tofauti na torasi, ulimwengu wa duara unaweza kugunduliwa kwa kutumia vipimo vya ndani. Maumbo ya spherical hutofautiana na nafasi isiyo na mwisho ya Euclidean si tu katika topolojia ya kimataifa, lakini pia katika jiometri ndogo. Kwa mfano, kwa kuwa mistari iliyonyooka katika jiometri ya spherical ni miduara mikubwa, pembetatu huko ni "nono" kuliko zile za Euclidean, na jumla ya pembe zao huzidi digrii 180.

Kimsingi, kupima pembetatu za ulimwengu ndiyo njia kuu ya kuangalia jinsi ulimwengu ulivyopinda. Kwa kila mahali pa moto au baridi kwenye historia ya microwave ya cosmic, kipenyo chake na umbali kutoka kwa Dunia, na kutengeneza pande tatu za pembetatu, hujulikana. Tunaweza kupima angle inayoundwa na doa katika anga ya usiku - na hii itakuwa moja ya pembe za pembetatu. Kisha tunaweza kuangalia ikiwa mchanganyiko wa urefu wa upande na jumla ya pembe inalingana na jiometri iliyopangwa, ya spherical, au hyperbolic (ambapo jumla ya pembe za pembetatu ni chini ya digrii 180).

Mengi ya hesabu hizi, pamoja na vipimo vingine vya mkunjo, huchukulia kwamba ulimwengu ama ni tambarare kabisa au karibu nao sana. Timu moja ya watafiti hivi majuzi ilipendekeza kwamba baadhi ya data ya 2018 kutoka kwa Darubini ya Anga ya Planck inazungumza zaidi kwa ajili ya ulimwengu wa duara, ingawa watafiti wengine walidai kuwa ushahidi uliotolewa unaweza kuhusishwa na makosa ya takwimu.

Jiometri ya hyperbolic

Tofauti na tufe, ambayo inajifunga yenyewe, jiometri ya hyperbolic au nafasi iliyo na curvature hasi hufungua nje. Hii ndio jiometri ya kofia yenye ukingo mpana, miamba ya matumbawe na tandiko. Mfano wa kimsingi wa jiometri ya hyperbolic ni nafasi isiyo na kikomo, kama vile Euclidean bapa. Lakini kwa kuwa umbo la hyperbolic huenea nje kwa kasi zaidi kuliko gorofa, hakuna njia ya kutoshea hata ndege ya hyperbolic ya pande mbili ndani ya nafasi ya kawaida ya Euclidean, ikiwa hatutaki kupotosha jiometri yake. Lakini kuna taswira potofu ya ndege ya hyperbolic inayojulikana kama diski ya Poincaré.

Kwa mtazamo wetu, pembetatu karibu na mzunguko wa mpaka zinaonekana kuwa ndogo zaidi kuliko zile zilizo karibu na kituo, lakini kutoka kwa mtazamo wa jiometri ya hyperbolic, pembetatu zote ni sawa. Ikiwa tungejaribu kuonyesha pembetatu hizi kwa ukubwa sawa - labda kwa kutumia nyenzo elastic na kuingiza kila pembetatu kwa zamu, tukisonga kutoka katikati kwenda nje - diski yetu ingefanana na kofia yenye ukingo mpana na ingeinama zaidi na zaidi. Na unapokaribia mpaka, mzingo huu unaweza kutoka nje ya udhibiti.

Katika jiometri ya Euclidean ya kawaida, mduara wa duara ni sawia moja kwa moja na radius yake, lakini katika jiometri ya hyperbolic, mduara unakua kwa kasi kuhusiana na radius. Rundo la pembetatu huundwa karibu na mpaka wa diski ya hyperbolic

Kwa sababu ya kipengele hiki, wanahisabati wanapenda kusema kuwa ni rahisi kupotea katika nafasi ya hyperbolic. Ikiwa rafiki yako ataondoka kwako katika nafasi ya kawaida ya Euclidean, ataanza kuondoka, lakini badala yake polepole, kwa sababu mduara wako wa kuona haukua haraka sana. Katika nafasi ya hyperbolic, mduara wako wa kuona hupanuka kwa kasi, kwa hivyo rafiki yako atasinyaa hivi karibuni hadi alama ndogo sana. Kwa hivyo, ikiwa haujafuata njia yake, hakuna uwezekano wa kumpata baadaye.

Hata katika jiometri ya hyperbolic, jumla ya pembe za pembetatu ni chini ya digrii 180 - kwa mfano, jumla ya pembe za pembetatu fulani kutoka kwa mosaic ya diski ya Poincaré ni digrii 165 tu.

Pande zao zinaonekana kuwa zisizo za moja kwa moja, lakini hiyo ni kwa sababu tunaangalia jiometri ya hyperbolic kupitia lenzi inayopotosha. Kwa mkazi wa diski ya Poincaré, mikunjo hii kwa kweli ni mistari iliyonyooka, kwa hivyo njia ya haraka zaidi ya kutoka kwa uhakika A hadi kumweka B (zote mbili zilizo ukingoni) ni kupitia sehemu ya katikati.

Kuna njia ya asili ya kutengeneza analog ya pande tatu ya diski ya Poincaré - chukua mpira wa pande tatu na ujaze na maumbo ya pande tatu, ambayo hupungua polepole wanapokaribia nyanja ya mpaka, kama pembetatu kwenye diski ya Poincaré. Na, kama ilivyo kwa ndege na duara, tunaweza kuunda kundi zima la nafasi zingine zenye mwelekeo-tatu kwa kukata vipande vinavyofaa vya mpira wa hyperbolic wenye sura tatu na kuunganisha nyuso zake.

Kweli, Ulimwengu wetu ni wa hyperbolic?

Jiometri ya hyperbolic, yenye pembetatu nyembamba na miduara inayokua kwa kasi, haifanani hata kidogo na nafasi inayotuzunguka. Hakika, kama tulivyokwishaona, vipimo vingi vya kikosmolojia hutegemea ulimwengu tambarare.

Lakini hatuwezi kukataa kwamba tunaishi katika ulimwengu wa spherical au hyperbolic, kwa sababu vipande vidogo vya ulimwengu wote vinaonekana karibu gorofa. Kwa mfano, jumla ya pembe za pembetatu ndogo katika jiometri ya spherical ni kidogo tu zaidi ya digrii 180, na katika jiometri ya hyperbolic ni kidogo tu.

Ndio maana watu wa zamani walidhani kwamba Dunia ni tambarare - mzingo wa Dunia hauonekani kwa macho. Kadiri umbo la duara au hyperbolic linavyokuwa kubwa, ndivyo kila sehemu yake inavyopendeza, kwa hivyo, ikiwa Ulimwengu wetu una umbo kubwa sana la duara au hyperbolic, sehemu yake inayoonekana iko karibu sana na gorofa hivi kwamba mzingo wake unaweza kugunduliwa tu kwa ala sahihi kabisa. na bado hatujazizua….